京都大学　代数学代数学II　第一回

京都大学　代数学代数学II　第一回

https://www.youtube.com/watch?v=pZMusy4HJjI

２時方程式

すごく古くていつとかわからない

５次方程式

一般の形の解の公式はないことを証明できる

アーベル

さき　群論を使う

おもしろい

論文はわかりにくい

アーベル、ルフィニの解法ともいうが

ガロア

存在するための条件を記述

現在の代数学では、方程式論は主流でない

が、フェルマーの定理でも

$ x^p + y^p = z^p

$ \zeta = e^{ 2 \pi \sqrt{-1} \over p}

ゼータを原始p乗根として

として

$ \Pi_{i=0}^{p-1} (x + \zeta^i y) = z^p

という変形をした

という感じで、基礎にはなっている

しかし、方程式論は主流でなくなっている

体の定義に対して、ガロア群を定義

https://gyazo.com/88e915635f6ed7281d306c4d978a9497

途中にある体と途中にある群が1対1対応する、というのがガロア理論

解の公式があるということは

たとえば2自方程式

ちゅうかんたいの列が作れなければ解がないということが言える

作図問題

角の二等分線

立方体の体積を長さに持つ線を作図できるか

記号

$ \mathbb{N} = \{ 0,1,2, ...\}

どっちでもいいが0含めて

集合と対応させるとき、空集合と0をいうほうが

Def 定義 (definition)

Lem 補題　lemma

Prop 命題 proposition

Th 定理　theorem

pf 証明 proof

最後に四角の記号

Prob 例題、問題

Ex 例

Conj 予想 conjecture

群の定義

$ (a,b) \rightarrow ab \in G

$ \exists e \in G , \forall g \in G \Rightarrow ge = eg = g

$ \forall g \in G, \exists h \in G, \Rightarrow gh = hg = e

$ \forall a,b,c \in G, (ab)c = a(bc)

可換環のみ扱う

２つの演算

$ a(b+c) = ac + bc

$ (b+c) a = ba + ca

積に関する結合法則

(ab)c = a(bc)

積に関する単位元の存在

$ \exists 1 \in A, 1a = a1 = a

しかし、結合法則を満たさない環も極稀に考える時がある

ジョルダン代数

先生はAを使う流儀

Rだと局所化のときにつらい

行列の環のときだけRとか

Def

Kが環であり

$ \exists b \in K, ab=ba = 1

可換な可除環を体という

可除環 (division ring)

日本だと、斜体と言ったりする

前期の復習と補足

代数学１

環論

あるいは整閉整域という

$ x^n + a_1x^{n-1} + ...

$ a_i \in A

モニックの根　のことをA上整　という

$ A=\mathbb{C}[x]

$ a_1, a_2, ... \in A

$ a_1 = a_1(x)

$ y^n + a_1 y^{n-1}... = 0

という事情がある

もし整でないと

たとえば

$ xy^2 - x + 1 = 0

x=0のとき、満たすyがない

代数幾何の言葉でいうと、

1=0になる

ここまで復習

補足